Overlapping Generation Models
(OLG) model — 疊代模型
⭐️ 把人分成兩個時期
- 年輕人
- 老人
⭐️把經濟體開始的時期訂為1
- t ≧ 1
- N(t) 代表t時期出生的人，這邊用來定義”年輕人”
- N(t-1)代表t-1時期出生的人，這邊用來定義”老人”
⭐️把消耗品儲蓄數量定為y
- 只有年輕的時候可以獲得，老的時候無法獲得
⭐️疊代模型中，說明老人與年輕人都會消費，因此個體的效益(utility)取決於老人與年輕人的消費組合。
- 給定一時期的消費量，個體效益會隨著另一時期的消費量而增加。
- 兩個時期個體皆傾向消費正向的數量。
- 為了讓明天有更多的消費，個體願意放棄今日的消費(如果蘋果相對明天而言充足)。
👉定義一個個體C(1, t)為年輕時的消費，C(2, t+1)為老年時的消費
👉假設時間不是關鍵的要素，則這兩時期訂為C(1)，C(2)。
圖1(白話來說如果只有年輕時賺錢，那麼你一輩子賺的錢就是固定的(效益utility)，年輕時 + 老年時花的錢，就等於效益)。
圖2 (白話而言，就是假設退休金相同的情況之下，年輕的時候想多花錢則年輕時賺的錢要越多(效益))。
⭐️定義經濟的問題
- 老人跟年輕人都想要得到good，但是只有在年輕的時候可以賺取消費品(無儲存性)
可行的分配
⭐️假設年輕人只會儲蓄
- 我們可以得到
- (社會上的消費品總額)(t) = N(t)．y
⭐️假設在t出生的個體(簡稱t世代)，每個個體，都有相同的終身分配數額。
i.e. 都是C(1, t)和 C(2, +1)
— 年輕人在 t 時期
- (所有年輕人的消費)(t) = N(t) · C(1, t)
— 老人在 t 時期
- (所有老人的消費)(t)=N(t-1) · C(2, t)
👊 我們現在可以來說明消費的現象
- N(t) · C(1, t) + N(t-1) · C(2, t) ≦ N(t) · y
⭐️假設人口數是固定的(i.e N(t) = N, ∀t)
- C(1, t) + C(2, t) ≦ y
⭐️假設每個時期的消費是固定的(靜態分配)
i.e : C(1, t) = C(1), C(2, t)= C(2), ∀t
- C(1) + C(2) ≦ y
— 這呈現了非常簡單的線性等式模型 ∈ C(1), C(2)
Golden Rule Allocation
現在我們疊加上之前所說的個體無異曲線到圖3中，我們可以觀察當靜態分配且人口數不變，也就是時間變數不影響的話，可行分配的最大效益為多少。
圖4，社會生產數額(A曲線)在每一個時期都大於總消費額(y線)，所以只有A可以達到最大效益，在可行解中達到最大社會福祉。D生產過剩，而B，C則生產不足。如圖5
Corollary:
- 靜態分配，對於年輕人跟老人是一個均衡的消費分配，用(C(1*), C(2*))表示。 誰都不能多拿，經濟學家不能偏袒其中一個。
Decentralized Solution
上面區塊說明的都是集權控制下的分配結果，現在我們想討論的是如果市場自行分配的結果呢?
⭐️競爭下的平衡(equilibrium)特質有:
- 個體間互相做有利的交易，透過交易，個體傾向取得能力所及的最大效益。
- 價格跟數量必須沒有變化，也就說個體的行為對價格沒有效果。
- 在任何市場中，供需平衡。
Equilibrium without Money
思考一下如果在自由的市場當中，OLG 在我們的經濟體中，沒有money的話?在沒有集權控制之下，是否還可以達到我們之前所說的結果??
這樣的交易是不可能存在的，t時期有年輕人跟老年人(t-1時期的年輕人)，如果從事交易，對於年輕人是沒有利益的。
對於年輕人而言，老了之後，幾乎是沒有消費品儲蓄的，所以這樣的交易肯定是徒勞無功的。老人想要年輕人生產的消費品，可是老人並沒有年輕人想要的東西。
所以，對於一個自給自足的個體，每個人都在年輕的時候把消費品花光光，沒有留下任何東西，所以這樣的效益是很低的。
Equilibrium with Money
在經濟體中給定一個固定的Stock = M，最初的老人一共有N個，所以每個老人都有M/N個。
那麼就可以開啟交易，年輕人用消費品跟老人交換貨幣，年輕人在用貨幣跟下個世代的年輕人交換。
我們先定義一個單位的貨幣(flat money)相對於消費品的單位價值為V(t)，i.e.，年輕人需要放棄多少消費品來換取一元。
相反過來的話，一個消費品多少錢則定義成P(t)。
⭐️An Individual’s Budget
前面有講過一個人分成兩個時期，老年跟少年，在少年時期賺取y個消費品，個體可以吃掉，或者換取金錢。
第一時期(t)
多定義一個M(t)為在少年(t)時期所賺取的金額數
- C(1, t) + V(t)M(t) ≦ y
- 年輕時共賺取y 消費品，在年輕的時候花了C(1, t)然後用V(t)個消費品換一元共換取了M(t)元
第二時期(t+1)
- C(2, t+1) ≦ V(t+1) · M(t)
- 老年的時候，拿著年輕時換取的M(t)元去換取V(t+1)/per dollar 換取了消費品共V(t+1) · M(t)，為老年人最高的消費總額。
V(t) > 0, ∀t，整理以上兩式
第二式 : M(t) ≧ (C(2, t+1))/(V(t+1)), 代入第一式
- C(1, t) + [V(t) · C(2, t+1)/ V(t+1)] ≦ y
- C(1, t) + (V(t)/ V(t+1))· C(2, t+1) ≦ y — — (2)
- V(t+1)/V(t) 👉為金錢回報率
- 圖6，說明C(1*, t) , C(2*, t+1)為最佳解
- stationary monetary equilibrium(靜態平衡之下)
— 兩世代的消費總額不受t影響，C(1) + V(t+1)/V(t) · C(2) =y
⭐️帶入個體之後
N(t) · (y-C(1, t))，為經濟體所需的金錢數額
👆t時期出生的每個年輕人有N(t)個人，一輩子賺取的消費品有y，扣掉年輕時期所花掉的消費額之後剩下的數額。i.e.經濟體總需要的金額。
- V(t)M(t) = N(t) · (y-C(1, t))
- V(t) = N(t) · (y-C(1, t)) / M(t)
同理t+1時期
- V(t+1) = N(t+1) · (y-C(1, t+1)) / M(t+1)
合併兩式
我們假設，兩個時代出生的人數是相同的，N(t) = N(t+1)，然後換取的金額數也相同，M(t+1) = M(t)，做一下消去
利用比率等於1，再回想C(1) + V(t+1)/V(t) · C(2) =y，我們可知
- C(1) + C(2) = y
圖6跟圖7是一樣的表示，靜態貨幣模型式遵守Golden Rule 的。
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